微分方程
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从牛顿时期人们就意识到，所有的物理定律都可以
当描述相对变化量比绝对量更容易时，微分方程就经常被用到了。
比如为什么它在某个时间是某个特定值更容易。这些方程有俩中不同的形式
常微分方程：（ODE）函数的自变量只有一个 通常是时间。和偏微分方程：函数有多个自变量（可以想象成一个随着时间变化的一个连续体。就像固体中任意一点的温度。或者空间中任意一点的流体速度。）
常微分方程
常微分方程只涉及时间变换的有限集合。也不需要时间，这个时间可以是任何事物。
想象一下抛向空中物体的轨迹，地表的重力给了物体向下的速度。这个加速度约为$-9.8m\frac{m/s}{s}$
这些速度矢量每秒增加9.8m/s的向下分量。我们使用g来替代这个常量。（简单来说就是每秒下落的距离。）
把y坐标看成时间函数，它的导数是加速度的垂直分量。
再取一次导数就是加速度的垂直分量。
我们的微分方程就是y的二阶导数也就是-g是一个常量。这个问题我们可以通过积分来解决，本质上是一个逆运算的过程。根据有关变化率的信息，最后计算得出函数是什么。
如果计算一个更加复杂一点的问题时，这个引力就不一定是一个常量了。如果有俩个物体其中一个物体的受力方向是指向另一个物体。
在微分方程中，面对的问题往往是找到一个函数，其导数（以及高阶导数）也是由这个函数本身定义的。
在物理学中，二阶微分方程是最常见的。也就是表达式中最高阶倒数是二阶导数。高阶微分方程是包含三阶导数，四阶导数或更高阶导数的微分方程。
在某种意义上，你要找到无穷多数，每个数对应一个时间T。单它们满足一个很具体的约束条件，要和自己的变化率以及变化率的变化率交织在一起。
$360^∘=2\pi弧度$。也就是说一个完整圆的弧度为$2\pi$。
我们用振幅所对的弧长x来表示它的位置。$\theta$是角度，L是摆长。若$\theta$角是用弧度制表示的，x可以写为$x=L\times \theta$
但由于单摆限制了这个系统的运动，我们需要关注加速度在运动方向的分量了。其中图中这个夹角也为$\theta$这里不再进行证明
所以这个叫在蓝色运动方向上的分量为$-g*sin(\theta)$。而粉色为$-g*cos(\theta)$。我们规定单摆在右边时$\theta$为正，左边时为负数。
所以x的二阶导数，即加速度是$-g*sin(\theta)$。当$\theta$为0时sin(0)为0，所以这时候在运动的方向没有加速度。当$\theta$是90度的时候（也就是$\frac{\pi}{2}$）这时候加速度和自由落地是一样的。
因为$x=L\times \theta$，所以$\theta$的二阶导数为$-\frac{g}{L}sin(\theta)$为了更真实一点，我们考虑空气阻力。也就是$\ddot\theta=-u\dot\theta-\frac{g}{L}sin(\theta) $。假定空气阻力大小和速度成正比。也就是
$$ $\ddot\theta=-u\dot\theta(t)-\frac{g}{L}sin(\theta(t)) $$
这个u代表了单摆的空气阻力，摩擦系数等。也决定了单摆损失能量的速度。
式子中正弦函数的存在，恰好是现实中单摆不会以正弦波形式摆动的原因。
我们可以发现微分方程很那解。没有任何已知的方法可以精确求解$\theta(t)$是多少。所以在学习微分方程时，我们常跳过求解过程，因为它根本无法得到。而是但从方程进建立理解和计算。
单摆的状态可以用俩个数字表示，角度和角速度。(分别为横轴和纵轴。)可以在不影响其中一个值的情况下改变另一个值。但是加速度值关于这俩个值的函数。如果已知初始角度和角速度，就足以预测随着时间推移这个系统是如何演变的。
通过这个空间，我们可以将微分方程可视化为向量场。
假设单摆的状态是向量$[\theta(t),\theta'(t)]$。对于这个向量求导就可以得到它的变化率。也就是在这个图像中变换的趋势速度和大小方向。
$$ \frac{d}{dt}\begin{bmatrix}\theta(t)\\\dot{\theta}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\dot{\theta}(t)\\\ddot{\theta}(t)\end{bmatrix} $$
对于空间内所有店做这个操作，就可以看出任意一个位置的变化趋势
事实上我们已经把一个二阶方程分解为俩个一阶方程。（一阶常微分方程组System of tow first order）
任何常微分方程系统都能用这样的向量图来表示。所以通过构造向量图来理解他们是非常常见的。一般情况下系统都有很多个维度。
在数学上我们把这个叫做相空间（phase space），来指代描述运动系统所有状态相同的空间。
对于这些计算背后的很打一部分在于，取不动点附近的一小块区域，观察里面的流动是向内缩还是向外扩张。
那么$\theta(t)$到底如何求解呢？其中一种办法是模拟本身的变化。但定义微积分时得用有限的时间步长而非无穷小或者无限。取得越小越精确。
尽管无法获得精确解，但学习微分方程还是很有意义的。
偏微分方程
我们来看一个关于偏微分方程的例子，热传导方程。首先建立一个实例，假设有一块金属，而且你知道金属在某一时刻的热量分布情况。那么问题来了，热量从高区域传到低区域分布情况是如何随着时间变化的呢。
假设你有俩个温度不同的杆。每个杆上的温度都相同。当吧它们连接到一起的时候，热量会从温度较高的杆流向温度较低的杆。使得系统的温度随时间趋于一个定值。但是它是如何进行的呢？每个时间段中的热量是如何分布的呢？因为微分方程的典型特性是，描述一个系统从一个到另一个的过程，比直接描述某个时刻整体更容易。
其中热传导1维方程为$\frac{\partial T}{\partial t}(x,t)=\alpha\cdot\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,t)$。热传导的三维方程为：$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)$有时写作$\nabla^2T$
热传导方程在很多地方都有体现，比如布朗运动（Brownian motion），扩散现象。
在之前我们了解到常微分方程（Ordinary differential equation）很难解，但偏微分方程比常微分方程(partial differential Equation)还要更难解。因为他们包含了无数变量的相互作用以及变化。
我们有一个一维的杆把它放在x轴上，杆上的每个点可以用唯一的数字x来表示。维度是未知的函数T(x)。如果你愿意你可以把输入想象成二维的。它同事代表了时间和空间。或者用真实的时间代表时间。
之前我们只研究少量变量随着时间变化的系统，比如角度与角速度。但是如果整个系统都会随着时间变换，事情会变得复杂。因为我们在推导由多维输入的温度方程。在这个例子中一个是温度一个是时间。
这里的T是温度，t是时间。
x方向的倒数是$\frac{dT}{dx}(x,t)$。 可以将其理解成温度沿x轴方向上的斜率，或者当x发生变化的时候，温度差生的变化与之前的比值。
还有一个比值是杆子上某一点温度随时间变化的比值$\frac{dT}{dt}(x,t)$。也就是温度沿着时间轴方向的斜率。
每一个导数都只描述了温度函数变化的一部分。所以我们叫他偏导数。所以我们改一下上边俩个公式的记号，将d改为$\partial$。其实他们本质上代表的是完全相同的意思。这个符号想要表达的意思是，在自变量越来越小时，这个比值的极限。而不是去一个有限小值的特定比值。
热传导方程就是用这些偏导数来表示的，它说明了这个函数相对于时间的变换取决于相对于空间的变换。更具体的说，它和关于x的二阶偏导数成正比。直观的看，就是在变化曲线中曲率更大的点，有朝着弯曲方向更快变化的趋势。由于这类规则是通过偏导数写出的。我们交它偏微分方程。
我们可以想象一下这个曲线的离散版本降低难度。如果对应的x是有限的点，那么事情就比较简单了。如果它相邻的俩个点平均温度高于它，它就升高，如果平均值低于它，它的温度就会降低。用公式写出来就是。
$$ (\frac{T1+T3}{2}-T_2) $$
当这个差值越大，升温就越快，减去自己后如果为正就升温，为负数就降温。规范的用公式表示，则：T2关于时间的导数和它自身相邻点的平均值成正比。
就是为
$$ \frac{dT_2}{dt}=\alpha(\frac{T1+T3}{2}-T_2)=\frac{a}{2}((T_3-T_2)-(T_2-T_1)) $$
其中这个$\alpha$是比例常数。我们将其中的$T_3-T_2$记作$\Delta T_2$，另外的$T_2-T_1$记作$\Delta T_1$。也就是说我们这里去比较他们差值的差值。
我们把差值的差值用术语来说就是二阶差分(second difference)记作$\Delta\Delta T_1$。它本质上在描述与它相邻的均值有多大区别。
所以最后的结论是某一点的温度变化比率与它的二阶差分成正比
$$ \frac{dT_2}{dt}=\frac{\alpha}{2}\Delta\Delta T_1 $$
当我们从离散有限扩展到连续无限的情形。二阶差分即为二阶导数。（这就是热传导方程）
$$ \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\times \frac{\partial ^2T}{\partial x^2} $$
我们考虑的不在是固定俩点之间的温度的差值，而是将这个距离不断的向0缩小发生的事情。我们不考虑具体数值而是考虑变化率。
其中这里有俩个维度，一个是温度随时间变化，一个是温度随着周围的温度变换。在计算中我们写作
$$ \frac{\partial \frac{\partial T}{\partial x}}{\partial x}=\frac{\partial ^2T}{\partial x^2} $$
也就是关于x的二阶导数。
如果把情况推广到三维的。它们的方程看上去都是很相似的。但包含了对另一个空间方向的二次偏导数。
$$ \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right) $$
其中等式右边括号内的部分被叫做，拉普拉斯算子。通常写作$\nabla^2T$。它本质上是多变量的二阶导数，但直观上与一维的情况是一致的。依然可以被理解为，描述某一点与其临近点的差异。只不过这些临近点不是左右俩边，而是所有环绕它的点。也可以把他看做梯度的梯度。
求解
T(x,t)必须满足的条件
- 偏微分方程（pdt）
- 边界条件（coundary condition）
- 初始条件（initial condition）
偏微分方程本身有海量的解，可以让方程俩边相等。我们可以把傅里叶的解法分为三个基本原则。
- 特定的正弦曲线是温度方程十分简单的解
- 假如你求出多种解 它们的和也是一种解
- 所有的函数都可以表示成正弦曲线的和。
为什么要把函数分解为正弦曲线呢？因为在很多地方正弦曲线比其他的函数都要好处理。微分方程就是个很好的例子。
在热传导方程中 把函数写成多个曲线的和。简洁的二次导数能让热传导方程变得更好求解。然后多个解加起来仍然是一种解。
假设温度在T=0时，$T(x,0)=sin(x)$
$$ \frac{\partial \frac{\partial T}{\partial x}}{\partial x}(x,t)=\frac{\partial ^2T}{\partial x^2}(x,t) $$
热方程的右边写的是这个函数的二次导数。对sinx求导2次会得到-sinx。所以正弦波的弯曲的程度可以说和曲线上的高度相反。
所以在实践T为0的时候。每个点的温度变化率都和整个点的温度成正比。并且比例处处相等
$$ \begin{aligned}\frac{\partial T}{\partial t}(x,0)&=\alpha\cdot\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,0)=-\alpha\cdot T(x,0)\end{aligned} $$
所以经过几个微小的时间段后，所有温度都会同比例缩小。然后还是得到一个缩小的正弦曲线。在之后的时间内曲线也将继续缩小。这个性质在时间趋于0时也同样成立。不像其他的分布，正弦波特殊在它们会同比例缩小。也就是说在每个时间T，都想sinx乘以某个常数。
一看到某个量的变化率和量本身成正比时，应该本能的想到指数。我们知道对于正弦波 右边的表达式等于$-\alpha$乘上温度函数本身。
所以我们可以猜测出这个解将缩小e的$-\alpha t$次幂倍。
对哪个变量求编导，就意味着当计算那个变化量的时候，将其他量看做常数。是固定不变的。只有求导的那个量是未知量。
$$ T(x,t)=sin(x)e^{-\alpha t} $$
我们对x求二次偏导得到$\alpha \times -sin(x)e^{-at}$。而如果对t求导我们会得到$-\alpha sin(x)e^{-at}$。很明显俩者相等。
但事实是就算杆子上的温度是正弦曲线，温度也不会像指数那样衰变。实际上左侧的点会先升温，右边会被旁边的更低点降温。
举个例子，假如有一个直线，温度常数为非零常数项乘上x，不随时间的改变。（左边冷右边热的直线而且温度均匀理论上除了边界的每个点左右俩边的平均温度都是自己。）
$$ T(x,t)=c\times x $$
对x的二次偏导数就是0，因为直线没有曲率。对于时间求二阶偏导也是0，因为这个函数不会随着时间而改变。但是吧这个函数放到模拟器中，它确实会随着时间的改变，缓慢接近平均温度，这是因为对待边界的俩点和对待其他的所有点都不同。边界点上有一边没有相邻的点。 假如我们回到离散版本，在杠杆上只有有限多个点。那么边界值应该趋向于相邻的哪一点的值 变化速率与差值成正比。当我们添加足够的点，俩个边界点的热分布看起来会很平。也就是说边界的斜率在刚开始之后会一直等于0。所以当假设杠杆和外界不会有热传导时，俩端的斜率将等于0。
因此找一个符合热传导方程的函数本身并不够，它还必须满足在时间大于0时，边界都必须是水平的。
更准确的说温度在（0,t）和(L,t)俩点对于x的偏导数，在所有t大于0的时候，都必须等于0。这里的L是杠杆的长度。
$$ \frac{\partial T}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial T}{\partial x}(L,t)=0 $$
实际上要解微分方程的时候边界条件都会自然的出现。而且和偏微分方程本身一样需要重视。
因此我们要稍微调整一下让函数在边界水平就可以了。首先我们可以不用正弦曲线而是用预先曲线。它们都是同样的曲线，只是在空间上平移了四分之一个周期。于是函数图像在x=0时，会如我们想要的那样水平。同样的cos(x)的二次导数为-cos(x)。
像之前那样$cos(x)\times e^{-at}$满足偏微分方程。为了保证等式右边也满足边界条件，我们要调整余弦波的频率。这一操作会影响它的二次导数，因为频率更，函数波就弯曲的更急。改变频率就意味着要引入新的常数$\omega$。乘上函数的输入值x，$cos(\omega\times x)其中\omega$越高意味着正弦波震动的越快。当x增加时输入仅余弦的值就会增加的越快。
对x求偏导的时候，我们依旧会得到-sin，但是链式法则告诉我们要把$\omega$再乘在外面二次导数也同样。
$$ cos(\omega\times x)->-\omega^2cos(w\times x) $$
让杠杆长为L，使得热分布曲线在最右边的电商的水平的最低频率是$\pi/L$。这样x增加到L时余弦的输入值将增加$\pi$也就是周期的一半。
谐波（Harmonic）是指在振动或者波动系统时，相对于基波（fundamental frequency）的频率为其证书倍波动的成分。简单来说谐波是波的倍频，它们是符合信号中或波形组成的部分。
找到其他满足边界条件的频率有点像是在找谐波。只需要找出所有$\pi/L$的整数倍即可。
$$ cos(\omega(\pi/L)\times x)e^{-\alpha(\omega \pi/L)^2t} $$
这个函数看起来复杂多了，但它们都来自一个基本的观察，空间上像正弦波，空间上指数衰减的函数，满足偏微分方程，可以关联上空间中的二次导数和时间上的一次导数。
傅里叶级数
每一个小向量以固定证书频率旋转，当把他们以首尾相接的方式加在一起。最后一个向量的箭头就会随着时间画出某种图形。通过调整初始量的大小和角度 我们就可以画出任意的图形。它们背后的公式是.
$$ c_n=\int_0^1e^{-2\pi int}f(t)dt $$
热传导方程正好和线性方程性质一样，热传导的方程正好和线性方程性质一样。将俩个解加起来就是一个新的解。甚至可以把每个解都缩放好几倍，像是一个来创造解方程的自定义函数拨盘。这意味着我们可以拿一群指数衰减的余弦函数来解，通过调整几个余弦函数的大小，然后把它们加起来得到一个新初始条件的解。当在相加这些函数时，因为更高频率的余弦函数衰减的更快，求出的和会随着时间趋于平坦。因为所有高频余弦函数很快会趋近于0。从而低频率函数就主导求出的解。因此热传导方程中描述的热分布变化的复杂性就都被频率不同的各个部分的不同衰减率给捕捉到了。
但是现实中的分布是很复杂的。比如我们将一根热的棒和冷的棒接在一起，左边的杆温度为1，右边的为-1。在接触的一瞬间它的温度分布其实就是一个阶跃函数（step function）。很明显它不像正弦波，甚至都不是连续的。因此傅里叶做的就是，如何用正弦波来表示它。此外还要保证加进去的余弦函数同时满足边界条件（这意味着余弦函数需要满足，它的频率都是某个最低频率的整数倍。）。而且如果需要满足不同的边界条件，比如断电值是定值的时候，右要另一堆波拼凑起来。在这个例子中可以把余弦函数替换成正弦函数。
但这些正弦函数和的一点都不可能是真正的阶跃方程，它们只不过在做近似罢了。没错，除开长函数，任何正弦函数的有限的和都不可能是完美平坦的。也不可能是不连续的。但是傅里叶想到了无穷个正弦函数的和。
$$ \frac4\pi\left(\frac{\cos\left(1\pi x\right)}1-\frac{\cos\left(3\pi x\right)}3+\frac{\cos\left(5\pi x\right)}5-\frac{\cos\left(7\pi x\right)}7+\cdots\right) $$
只从数字上考虑这些括里的无穷个分数的相加和应该等于$\pi/4$。当你把每一项加起来的时候，数值应该都是一个有理数。它不可能和$\pi/4$相等，但是随着数量越多会越来越逼近最终收敛于$\pi/4$。引入极限的概念可以做到有限加法无法做到的质变。
当你把热传导方程的解和这些余弦函数联系起来，并且将无穷多的项都加起来。会得到这个阶跃方程的解如何随时间变换。那么如何得到这些数字呢。
到目前为止，我们考虑的输出实数的函数。但可以让函数的输出值可以是二维平面的复数。我们依旧考虑输入的值是在有限区间内的实数函数。比如区间是0-1。但是不同于温度函数那样降输出限定在实数。引入复数可以让输出值在二维空间复平面自由翱翔。可以把这种函数想象成在绘画。随着输入值从0-1的变化，笔尖勾勒出复数平面上不同的点。
我们把函数拆解成小向量和，都按固定的整数频率旋转。实数输出的函数画出的东西很无趣，只是一维上的素描。因为我们通常用图像来描述这类函数。但是此时函数的图像只出现在平面上。如果把函数拆分成一维图像旋转的向量。结果就会得到频率为-1和1的向量长度相同，并且关于水平方向相反。当只就考虑它们俩个项的和，那么它们的和将一直在实数轴上，并且像正弦波那样震动。但是从复数输出的函数角度来看，水平上这种震动就是正弦函数，同样的，频率为2和-2的旋转向量能加成另一个正弦函数，以此类推。
所以傅里叶一开始研究的内容，即将实数函数拆分成一群正弦函数的和。其实是用二维平面和旋转向量表达的更普适的一种特殊情况。
那么我们为什么不用二维向量，而是用复数呢。因为傅里叶级数的精髓和灵魂就是一个复指数$e^{it}$。当输入值随着时间变化，它的输出值将会以每秒1单位的速率围绕着单位圆旋转。理论上描述所有傅里叶级数时，你可以完全只用向量语言而不是用i来进行描述。但是公式会变得更加复杂。不仅如此，不用指数函数还无法真实反应为什么这个概念会对解微分方程举足轻重。
目前来说可以把$e^{it}$当做旋转向量记法。但是，它不是一种简单的记法。将复数当做小箭头后加起来。
假设我们有一圈每秒的速率旋转的向量，我们写作$e^{2\pi it }$。之所以有$2\pi$是因为随着t从0走到1，它需要沿着圆走$2\pi$。还有另一个以每秒一圈的速率向另一个方向旋转的量记作$e^{-2\pi it }$。类似的如果每秒钟俩圈记作$e^{2\times 2\pi it}$其中$2\times 2\pi$描述的是它一秒钟会经过的路程。就这样对所有的正负整数都这样改写。因此它的通式为$e^{n\times 2\pi it}$。这些旋钮和表盘就是我们可以控制的变量。代表每个复数的初始长度和方向。
复常数（complex constant）是指具有固定值的复数。复数的形式为 a+bia + bia+bi，其中 aaa 和 bbb 是实数，iii 是虚数单位，满足 i2=−1i^2 = -1i2=−1。
控制它们的方法是将每一个项都乘上一个复常数叫做$C_n$（这里的n同样代表时间）比如如果我们项让那些不同的向量长度不等于1而是0.5
那么$c_0$就是0.5。如果项让旋转速率为1圈的每秒的向量，从45°开始旋转。我们会把它乘上能让他旋转那么多的复数。比如从和实数轴夹角45度的时候开始，那么这时候c就是$e_{(\pi/4)i}$。同样的，在这个无限旋转向量形成的组中每个都乘上了$c_n$这个复常数，从而决定角度和初始大小。我们的目标是能描述任意的函数f(t)。所以我们需要通过这个函数本身，来一个个找出每一项的系数。
其中最好找的就是常数项，这一项代表了绘画的中心，如果条一群t从0-1的平均分布的输入值，它对应的输出值的平均数会等于常数项$C_0$。如果更精细的挑选，它们输入的平均值会趋近于$c_0$。越来越越精细的t在输入值域中选点的函数输出的总和
$$ c_0=\int_0^1f(t)dt $$
它是一个积分，从0到1对f(t)的积分。由于通过平均数来表示，你将会积分除以输入值域的长度。但是这个长度等于1，所以在这里积分和取平均值是一回事。为什么这个积分能得出$c_0$呢？如果我们把这个函数表达成很多旋转向量的和，所以考察这个积分（这个连续的平均数）应用于总和时。和的平均数与各个部分平均值的和是一样的。可以把这个变换理解为方式的细微改变。不是每个时间点去看所有向量的总和并求出它们的平均值。而是去看每一个向量随着t从0到1时的平均值。并且把所有的平均值加起来。但是每一个向量只是绕0转整数圈。所以随着t从0到1平均值会等于0。只有常数项是唯一的例外。因为它保持不变，而且一点都不旋转。它的平均值就是它的初始值。所以求整个函数的平均值，是一种除了$c_0$之外的向量的聪明方法。但真正巧妙的方法是在这。比如说你想计算另外一个项数，巧妙的方法就是先把f(t)乘上一个东西，使得这个向量保持不变。
具体来讲，如果把整个函数乘以$e^{-2\times 2\pi it}$。由于乘上一个指数项会让指数加上一块，而每一个指数项频率会减小2现在我们求每一项的平均数。除了$c_2$这一项对应的向量全部都会旋转整数倍。意味着他们的平均数都是0。所以对这个调整过的函数求平均数，就是一种巧妙的方式，去除了$c_2$之外的方法。当然这里的数字2可以替换为n。这样就得到了对于$c_n$成立的普遍方程，这也就是我们要找的。
$$ c_0=\int_0^1 e^{-2\pi int}f(t)dt $$
把它理解为，先调整我们的函数或者二维图像，使得第n个变量保持不变，然后通过求平均的方法来去除所有其他的旋转变量。分解者一大堆旋转的向量加和所画图时候的复杂性全都包含在这个表达式中了。
它把绘图路径看做复数函数，对于值域中的n，电脑会计算积分来求出系数$c_n$。在实际操作中这些积分都是用数值计算法计算出来的。意思就是把它每一个单位区间分成很多小的$\Delta t$然后对每个$\Delta t$加上$f(t)e^{-n*2\pi it *\Delta t}$。计算完者101个常数字之后，每个常熟就确定了一个小向量的初始角度大小。将他们首位链接就可以进行画图了。向量的数量趋近于无穷，近似也会更加准确。
理解$e^i\pi$
$e^t$倒数等于它本身。
如果函数$e^t$描述在数轴上随着时间变化的位置。那么将从1开始（t=0）。而$\frac{d}{dt}e^t$你的速度大小永远等于你的位置大小。离0越远速度越快。如果是2t，相当于你在意位置两倍的速度移动（速度向量翻倍）。这里2所暗示的就是我们速度会随着距离的增加而更加难以控制。如果乘上的是一个负数。那么速度向量是位置向量的-0.5倍$e^{-0.5t}$。意味着要把位置向量翻转180度，长度上再减半，速度按照指数衰减。趋近于0。那么如果t前面的数字是i呢？那么位置函数的导数就永远是i乘上函数本身。等同于把数字旋转90°。因此，只有跳出数轴引入复数平面时，这种联想才有意义。
我们知道对于任何一个给定的时间t的位置。该时刻的速度是将此时的位置向量旋转90度。我们的初始位置为$e^0=1$。在这个位置只有轨道满足条件 使得速度向量是与90度旋转后的位置相匹配。此时你就以一个单位每秒的速度，绕了一个半径为1的圆。所以$\pi$秒后，你会得到一个长度为$\pi$的路径(因为完整的是$2\pi r$而这里的r是1)，所以$e^{i\times \pi}=-1$